Question

(2003　浙江紹興)已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：

(1)將三角形的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA、OB交于點C、D．

①在圖中，證明：PC=PD；

②在圖中，點G是CD與OP的交點，且PD，求△POD與△PDG的面積之比．

(2)將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA、直線OB分別交于點C、E，使以P、D、E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖中作出圖形，試求OP的長．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)①如圖所示，過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得 ∠HPN=90°，∴∠HPC＋∠CPN=90°． a) 而∠CPN＋∠NPD=90°， ∴∠HPC=∠NPD． ∵OM是∠AOB的平分線， ∴PH=PN． 又∵∠PHC=∠PND=90°， ∴△PCH≌△PDN． ∴PC=PD． ②如圖所示，∵PC=PD，∴∠PDG=45°． b) 而∠POD=45°， ∴∠PDG=∠POD． 又∵∠GPD=∠DPO， ∴△POD∽△PDG． ∴． (2)如圖所示，若PC與邊OA相交． c) ∵∠PDE＞∠CDO， △PDE∽△OCD． ∴∠CDO=∠PED． ∴CE=CD，而CO⊥ED． ∴OE=OD． ∴． 若PC與邊OA的反向延長線相交，過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為HN，如圖所示． d) ∵∠PDE＞∠EDC， △PDE∽△ODC． ∴∠PDE=∠ODC． ∵∠OEC＜∠PED， ∴∠PDE=∠HCP． 而PH=PN， ∴Rt△PHC≌Rt△PND． ∴HC=ND，PC=PD． ∴∠PDC=45°． ∴∠PDO=∠PCH=22.5°． ∴OP=OC． 設OP=x，則， ∴， 而， ∴， ∴，即．