(1)如圖1所示,在四邊形ABCD中,AC=BD,AC與BD相交于點(diǎn)O,E,F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn),連接EF,分別交AC、BD于點(diǎn)M,N,試判斷△OMN的形狀,并加以證明;(提示:利用三角形中位線定理)
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,若AB=CD,E,F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn),連接FE并延長(zhǎng),分別與BA,CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)圖并觀察,圖中是否有相等的角?若有,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論:
 
;
(3)如圖3,在△ABC中,AC>AB,點(diǎn)D在AC上,AB=CD,E,F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn),連接FE并延長(zhǎng),與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,若∠FEC=45°,判斷點(diǎn)M與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
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分析:(1)先得出結(jié)論,再進(jìn)行證明,取AB的中點(diǎn)H,連接HF,HE,根據(jù)已知條件,求得∠FMC=∠HFE,同理可得∠END=∠HEF,由AC=BD,從而得出∠END=∠FMC,則△OMN是等腰三角形;
(2)連接AC、BD,取AC、BD的中點(diǎn)H、G;
連接EG、GF、FH、EH;首先證四邊形EGFH是菱形(利用三角形中位線定理證四邊相等)
然后根據(jù)菱形對(duì)角線平分對(duì)角,得到∠GEF=∠HEF;
易知EG∥BM,HE∥CN,∴∠GEF=∠BMF,∠CNF=∠HEF,∴∠BMF=∠CNF.
(3)得結(jié)論:點(diǎn)M在以AD為直徑的圓外,
由上面一題得,∠M=∠AEM=45°,根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊,得ME>AE,從而得出結(jié)論.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)結(jié)論:△OMN是等腰三角形(1分)
證明:如圖1,取AB的中點(diǎn)H,連接HF,HE
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),
∴HF∥AC,HF=
1
2
AC
(2分)
∴∠FMC=∠HFE;
同理,HE∥BD,HE=
1
2
BD
,
∴∠END=∠HEF;
又∵AC=BD,
∴HF=HE,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠END=∠FMC,(3分)
∴△OMN是等腰三角形.

(2)正確畫(huà)圖(如圖2)(4分)
精英家教網(wǎng)連接AC、BD,取AC、BD的中點(diǎn)H、G;
連接EG、GF、FH、EH;
∵E,F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn),
∴EG=
1
2
AB,GF=
1
2
CD,F(xiàn)H=
1
2
AB,EH=
1
2
CD

∵AB=CD,
∴EG=GF=FH=EH,
∴四邊形EGFH是菱形.
∴∠GEF=∠HEF;
∵EG∥BM,
∴∠GEF=∠BMF,
∵HE∥CN,
∴∠CNF=∠HEF,
∴∠BMF=∠CNF.(5分)

(3)點(diǎn)M在以AD為直徑的圓外(6分)精英家教網(wǎng)
證明:如圖3,由(2)的結(jié)論,∠M=∠FEC,
∵∠AEM=∠DEF,
∴∠M=∠DEF=45°,
∴∠MAD=90°
∴ME>AE,
又∵E是AD中點(diǎn),
∴點(diǎn)M在以AD為直徑的圓外.(7分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn):三角形中位線定理,菱形對(duì)角線平分對(duì)角,是一道綜合性的題目,難度較大,不容易掌握.
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如圖甲,把正方形ACFG和Rt△ACB按如圖甲所示重疊在一起,其中AC=2,∠BAC=60°,若把Rt△ACB繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使斜邊AB恰好經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)F,得△A′B′C,AB分別與A′C,A′B′相交于D,E,如圖乙所示,那么△ACB與△A′B′C的重疊部分(即陰影部分)的面積為
 

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如圖1所示,在矩形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿矩形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y,把y看作x的函數(shù),函數(shù)圖象如圖2所示,則△ABC的面積為( 。
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A、10B、16C、18D、32

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(2012•豐臺(tái)區(qū)一模)將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀,可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個(gè)等腰三角形(不能有重疊和縫隙).
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(1)在圖3中畫(huà)出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖;
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8
5
,
4
3
或2
8
5
,
4
3
或2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1所示,點(diǎn)A為雙曲線y=
kx
(x>0)
上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于D點(diǎn),連接AO.
(1)若△ADO的面積為3,求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如圖2所示,在(1)的條件下,以A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC,其中點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸,點(diǎn)C在x軸的正半軸,求OC2-OB2的值;
(3)如圖3所示,在(1)的條件下,若B點(diǎn)的坐標(biāo)為B(-1,0),雙曲線上是否存在一點(diǎn)P,連接AO、PO,使得∠AOP=45°?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1所示,在△ABC中,AE是∠BAC的平分線,∠B<∠C,F(xiàn)為AD上一點(diǎn),且FD⊥BC于D.
(1)試推導(dǎo)∠EFD與∠B、∠C的大小關(guān)系.
(2)如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí),其余條件不變,在(1)中推導(dǎo)的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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