Question

下列說法：
（1）b=a+c時，方程ax²+bx+c=0（a≠0）一定有實數(shù)根；
（2）b²-5ac＞0時，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）若關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，則方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不相等的實數(shù)根；
（4）關于x的方程（a²-8a+20）x²+2ax+1=0無論a取何值，該方程都是一元二次方程．
其中正確的有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：（1）由b=a+c，可知b²-4ac=b²+4c²≥0，故方程有實數(shù)根；
（2）利用b²-4ac＞0時，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，進而得出b²-5ac＞0時，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）由a-b+c=0得：b=a+c，所以b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，故方程有實數(shù)根，但不一定有兩個實數(shù)根．
（4）若方程ax²+bx+c=O有兩個實數(shù)根，但c可能等于0，當c=0時，方程cx²+bx+a=0會變?yōu)橐辉�一次方程，此時只有一個實數(shù)根．
解答：（1）∵b=a+c，
∴b²-4ac
=（a+c）²-4ac
=（a-c）²≥0，
故方程有實數(shù)根．
故（1）正確．
（2）∵b²-4ac＞0時，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當b²-5ac＞0時，則b²-4ac＞0，故關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，
故此選項正確；
（3）若方程ax²+bx+c=O有兩個實數(shù)根，
但c可能等于0，當c=0時，
方程cx²+bx+a=0會變?yōu)橐辉�一次方程�?br />此時只有一個實數(shù)根．
故（3）錯誤．
（4）：∵a²-8a+20=（a-4）²+4≥4，
∴無論a取何值，a²-8a+20≥4，即無論a取何值，原方程的二次項系數(shù)都不會等于0，
∴關于x的方程（a²-8a+20）x²+2ax+1=0，無論a取何值，該方程都是一元二次方程．
故（4）正確；
故正確的有3個，
故選C．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用，此考點一直是中考中的一個經久不衰的老考點．