Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若⊙M的切線交x軸正半軸于點(diǎn)P，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，切點(diǎn)為N，且∠OPQ=30°，試判斷直線PQ是否經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)K是⊙M位于y軸右側(cè)上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)KB交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)k．始終滿足BH•BK=k？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）易求得A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．把它們的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，通過(guò)解方程組即可求得它們的值；
（2）如圖，連接MN，設(shè)直線PQ交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G．
由（1）中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（

3

，-2），然后通過(guò)解直角△MNG求得MG的長(zhǎng)度，若MG=2，則說(shuō)明該切線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，反之，該切線不經(jīng)過(guò)該拋物線的頂點(diǎn)；
（3）存在．如圖，連接AK．構(gòu)建相似三角形：△BOH∽△BKA，所以根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求k的值．

解答：解：（1）如圖，連接MC．
∵M(jìn)（

3

，0），BM=AM=MC=2

3

，
∴OC=

MC2-OM2

=3，
∴A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．則

27a+3 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得，

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

，
∴該拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）直線PQ經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．理由如下：
由（1）知，拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，即y=

1

3

(x-

3

)2-4，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

3

，-4）．
如圖，連接MN，設(shè)直線PQ交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G．
∵PQ是⊙M的切線，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵M(jìn)N=2

3

∴MG=

MN

cos30°

=4，則G（

3

，-4），即點(diǎn)G是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴直線PQ經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)；

（3）存在，理由如下：
如圖，連接AK．
∵AB是直徑，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴

BH

BA

=

BO

BK

，則BH•BK=BO•BA=

3

×4

3

=12，即k=12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．