Question

（2006•鄂爾多斯）如圖（a），兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．
（1）將圖（a）中的△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°角，在圖（b）中作出旋轉(zhuǎn)后的△OAB（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明）；
（2）在圖（a）中，你發(fā)現(xiàn)線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是______，直線AC，BD相交成______度角；
（3）將圖（a）中的△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖（c），這時（2）中的兩個結(jié)論是否成立？作出判斷并說明理由．若△OAB繞點O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°角應(yīng)該在△COD的右邊；
（2）的結(jié)論容易得到，AC=BD，AC與BD相交成90°的角；
（3）結(jié)論仍然成立，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到全等條件證明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以證明結(jié)論仍然成立．
解答：解：（1）如圖（a）【A，B字母位置互換扣（1分），無弧扣（1分），不連接AB扣（1分），扣完為止）】（2分）

（2）AC=BD；90（90°）（每空1分）（4分）


（3）成立．如圖（b）．
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB（或由旋轉(zhuǎn)得∠COA=∠DOB），（5分）
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，（6分）
∴AC=BD，（7分）
延長CA交OD于E，交BD于F，（下面的證法較多）
∵△COA≌△DOB，
∴∠ACO=∠ODB，（8分）
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD．（9分）
旋轉(zhuǎn)更大角時，結(jié)論仍然成立．（10分）
點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學生要看清是順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn)，然后畫出圖形，利用圖形的性質(zhì)通過證明三角形全等就可以解決問題．