Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．
（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；
（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長．

Answer 1

（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．

（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF-CF=10-3=7．
分析：（1）此題根據(jù)已知條件容易證明△BEA≌△AFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根據(jù)對應(yīng)邊相等就可以求出EF了．
點評：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們解決問題，經(jīng)常用全等來證線段和的問題．