Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，M點(diǎn)在邊AC上，且CM=2，過M點(diǎn)作AC的垂線交AB邊于E點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向M點(diǎn)運(yùn)動，速度為1個單位/秒，當(dāng)動點(diǎn)P到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動停止.連接EP、EC，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．在此過程中:

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求EP的長度；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△EPC是等腰三角形？

（3）如圖2，若點(diǎn)N是線段ME上一點(diǎn)，且MN=3，點(diǎn)Q是線段AE上一動點(diǎn)，連接PQ、PN、NQ得到△PQN，請直接寫出△PQN周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當(dāng)t=1或2或（6-2）時(shí)，△PEC是等腰三角形；（3）△PQN周長的最小值是．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)列出比例式，求出EP；

（2）分EP=EC、PC=PE、CP=CE三種情況，根據(jù)等腰三角形的概念、勾股定理計(jì)算即可；

（3）作點(diǎn)N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N′，關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′′，連接N′N′′交AC于P，交AB于Q，連接N′′E，根據(jù)勾股定理求出N′N′′，得到答案．

解：（1）∵∠ACB=90°，EM⊥AC，

∴EM∥BC，

∴，

∴ME=4，

當(dāng)t=1秒時(shí)，AP=1，

則PM=3，

∴EP=；

（2）當(dāng)EP=EC時(shí)，PM=MC，

∴4-t=2，

解得，t=2，

當(dāng)PC=PE時(shí)，（4-t）2+42=（6-t）2，

解得，t=1，

當(dāng)CP=CE時(shí)，22+42=（6-t）2，

解得，t1=6+（舍去），t2=6-，

當(dāng)t=1或2或（6-2）時(shí)，△PEC是等腰三角形；

（3）作點(diǎn)N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N′，關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′′，連接N′N′′交AC于P，交AB于Q，連接N′′E，則△PQN即為周長最小的三角形；

由題意得，N′E=7，N′′E=NE=1，

∵ME∥BC，

∴∠AEN=∠B=45°，

∴∠N′′EN=90°，

∴N′N′′=，

則△PQN周長的最小值是．