【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以DC為底向正方形外作等腰△DEC,連接AE,以AE為腰作等腰△AEF,使得EA=EF,且∠DEC=∠AEF.

(1)求證:△EDC∽△EAF;

(2)求DE·BF的值;

(3)連接CF、AC,當(dāng)CF⊥AC時(shí),求∠DEC的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;

(2)DE·BF的值為4;

(3)∠DEC的度數(shù)為45°.

【解析】(1)先證兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等得出△EDC∽△EAF;(2)利用(1)的結(jié)論推出兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等得到△BAF∽△DEA,從而求出DE·BF;(3)

解:(1)∵△AEF和△DEC是等腰三角形,且∠DEC=∠AEF,

∴∠EAF=

∴∠EAF=∠EDC

∴△EDC∽△EAF.

(2)由(1)得△EDC∽△EAF,

∵DC=AB,∴

∵∠DEA=180°-90°-∠EDC-∠DAE=90°-∠EDC-∠DAE,

∠BAF=90°-∠EAF-∠DAE,∴∠BAF=∠DEA

∴△BAF∽△DEA,

.即DE·BF=DA·AB=4.

(另法:記∠DEC=∠AEF=α,

,

,

(3)∵DE=CE,AE=FE,∴△ADE≌△FCE

∴AD=FC=BC

∵△BAF∽△DEA,

∴∠ABF=∠EDA , ∴∠FBC=∠CDE

∵△CBF和△EDC是等腰三角形,

∴∠BCF=∠DEC

∵CF⊥AC,∴∠ACF=90°

∵∠ACB=45°,∴∠BCF=45°

∴∠DEC=45°.

“點(diǎn)睛”本題考查相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相似三角形性質(zhì)解決問題,解題時(shí)要注意小題間的聯(lián)系,有一定難度,屬于中考?jí)狠S題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求過B,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+4的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BCPQ為平行四邊形;
(3)若點(diǎn)M為直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△AMC的面積最大?求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)和△AMC的最大面積.

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【題目】若關(guān)于x的方程x2+px+q0的兩根分別為x13x2=﹣4,則二次三項(xiàng)式x2+px+q可分解為(  )

A.x+3)(x+4B.x3)(x4C.x3)(x+4D.x+3)(x4

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【題目】為了參加市中學(xué)生籃球運(yùn)動(dòng)后,某校籃球隊(duì)準(zhǔn)備購(gòu)買10雙運(yùn)動(dòng)鞋,經(jīng)統(tǒng)計(jì)10雙運(yùn)動(dòng)鞋的號(hào)碼(cm)如表所示:

尺碼

25

25.5

26

26.5

27

購(gòu)買量(雙)

2

4

2

1

1

則這10雙運(yùn)動(dòng)鞋尺碼的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.25.5cm 26cm
B.26cm 25.5cm
C.26cm 26cm
D.25.5cm 25.5cm

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【題目】如圖:某校一塊長(zhǎng)為2a米的正方形空地是七年級(jí)四個(gè)班的清潔區(qū),其中分給七年級(jí)(1)班的清潔區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為(a﹣2b)米的正方形,(0<b<),
(1)分別求出七(2)、七(3)班的清潔區(qū)的面積;
(2)七(4)班的清潔區(qū)的面積比七(1)班的清潔區(qū)的面積多多少平方米?

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C工地

D工地

A倉(cāng)庫(kù)

每噸15

每噸12

B倉(cāng)庫(kù)

每噸10

每噸9

1若從A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到C工地的水泥為噸,則用含x的代數(shù)式表示從A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到D工地的水泥為   噸,從B倉(cāng)庫(kù)將水泥運(yùn)到D工地的運(yùn)輸費(fèi)用為   元;

2)求把全部水泥從A、B兩倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到C、D兩工地的總運(yùn)輸費(fèi)(用含的代數(shù)式表示并化簡(jiǎn));

3)如果從A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到C工地的水泥為15噸時(shí),那么總運(yùn)輸費(fèi)為多少元?

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