Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC，AC=BC=10．AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）求DF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；

（2）由BC是⊙O直徑，得到CD⊥AB，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==8，由于EF⊥AC，CD⊥AB，得出∠AFD=∠CDB=90°，推出△ADF∽△BCD，得到比例式，即可得到結論．

試題解析：（1）連接CD，OD，

∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠BDO，

∴∠A=∠BDO，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∵OD為半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵BC是⊙O直徑，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC=10，又AB=12，

∴AD=BD=6，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==8，

∵EF⊥AC，CD⊥AB，

∴∠AFD=∠CDB=90°，

又∵∠A=∠CBD，

∴△ADF∽△BCD，

∴，

∴，即DF=．