Question

如圖，拋物線c1：y=ax2-2ax-c與x軸交于A、B，且AB=6，與y軸交于C（0，-4 ）．
【小題1】求拋物線c1的解析式；
【小題2】問拋物線c1上是否存在P、Q（點P在點Q的上方）兩點，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形為直角梯形，若存在，求P、Q兩點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
【小題3】拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于x軸對稱，直線x=m分別交c₁、c₂于D、E兩點，直線x=n分別交c₁、c₂于M、N兩點，若四邊形DMNE為平行四邊形，試判斷m和n間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【小題1】
【小題2】存在，P、Q的坐標(biāo)分別為（5，），（3，）或（-5，），（3，-）
【小題3】m+n=0，m≠0，n≠0．解析:
此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到求解析式、平行四邊的性質(zhì)等。
（1）解：把C（0．-4）代入拋物線的解析式得：c=4，
∴y=ax²-2ax-4，
∵AB=6，
所以 =
解得：a=0（舍去），a=，
∴
（2）解：有兩種情況：①當(dāng)∠PAC=∠ACQ=90°時如圖（1），連接AQ，設(shè)Q（x，x²-x-4），
由勾股定理得：AQ²=AC²+CQ²，
代入得：
解得：x=0（舍去），x=3，
當(dāng)x="3" 時，x²-x-4=-，
∴Q（3，），
同法可求P的坐標(biāo)是（5，）；
②當(dāng)∠ACQ=∠PQC=90°時如圖（2），與①解法類似可求出Q的坐標(biāo)是（3，-），P的坐標(biāo)是（-5，）；
故存在，P、Q的坐標(biāo)分別為（5，），（3，）或（-5，），（3，-）．
（3）答：m和n間的數(shù)量關(guān)系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于x軸對稱，
∴兩拋物線的形狀相同，開口方向相反，且都關(guān)于Y軸對稱，
∵直線x=m分別交c_1、c₂于D、E兩點，直線x=n分別交c1、c2于M、N兩點，四邊形DMNE為平行四邊形，
∴直線m n垂直于X軸（m∥n），DE=MN，DE與 MN關(guān)于Y軸對稱，
∴m+n=0，m≠0，n≠0．