Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)，且OA：OC=1：3，S△ABC=6．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使S△ABD=S△ABC？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)E（點(diǎn)B除外），使S△ACE=S△ABC？若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）拋物線上存在一點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使S△ABD=S△ABC，D點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；（3）存在，E（﹣4．﹣21）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的面積，可得AB的長，根據(jù)線段的和差，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行線間的距離相等，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得答案；

（3）根據(jù)平行線的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相等，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即OC=3．

由OA：OC=1：3，

解得OA=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．

由S△ABC=ABOC=6，

解得AB=4．﹣1+4=3，

即B（3，0）．

將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，

解得，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖1：

，

根據(jù)平行線間的距離相等，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或﹣3．

當(dāng)y=3時(shí)，﹣x2+2x+3=3，解得x=0（不符合題意，舍），x=2，

即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；

當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣x2+2x+3=﹣3．

解得x=1﹣，x=1+，

即D點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，﹣3），（1+，﹣3）；

綜上所述：拋物線上存在一點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使S△ABD=S△ABC，D點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；

（3）過點(diǎn)B作AC平行線，如圖2

，

S△ACE=S△ABC，由平行線間的距離相等，得

設(shè)AC的函數(shù)解析式y=kx+b，將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得

函數(shù)解析式為y=3x+3，

由BE∥AC，設(shè)BE的解析式為y=3x+b，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

3×3+b=0．

解得b=﹣9，

即BE的解析式為y=3x﹣9，

聯(lián)立BE與拋物線，得

，

解得x=﹣4，x=3（不符合題意，舍），

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=3×（﹣4）﹣9=﹣21，

即E（﹣4．﹣21）．