【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))與y軸交于C點(diǎn),且OA:OC=1:3,S△ABC=6.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)D(點(diǎn)C除外),使S△ABD=S△ABC?若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)E(點(diǎn)B除外),使S△ACE=S△ABC?若存在,求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)拋物線上存在一點(diǎn)D(點(diǎn)C除外),使S△ABD=S△ABC,D點(diǎn)坐標(biāo)(2,3),(1﹣,﹣3),D(1+,﹣3);(3)存在,E(﹣4.﹣21).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)三角形的面積,可得AB的長,根據(jù)線段的和差,可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)值,可得答案;
(3)根據(jù)平行線的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相等,可得BE的解析式,根據(jù)解方程組,可得E點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=3,即OC=3.
由OA:OC=1:3,
解得OA=1,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0).
由S△ABC=ABOC=6,
解得AB=4.﹣1+4=3,
即B(3,0).
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得,
解得,
拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖1:
,
根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或﹣3.
當(dāng)y=3時(shí),﹣x2+2x+3=3,解得x=0(不符合題意,舍),x=2,
即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3);
當(dāng)y=﹣3時(shí),﹣x2+2x+3=﹣3.
解得x=1﹣,x=1+,
即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1﹣,﹣3),(1+,﹣3);
綜上所述:拋物線上存在一點(diǎn)D(點(diǎn)C除外),使S△ABD=S△ABC,D點(diǎn)坐標(biāo)(2,3),(1﹣,﹣3),D(1+,﹣3);
(3)過點(diǎn)B作AC平行線,如圖2
,
S△ACE=S△ABC,由平行線間的距離相等,得
設(shè)AC的函數(shù)解析式y=kx+b,將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
,
解得
函數(shù)解析式為y=3x+3,
由BE∥AC,設(shè)BE的解析式為y=3x+b,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
3×3+b=0.
解得b=﹣9,
即BE的解析式為y=3x﹣9,
聯(lián)立BE與拋物線,得
,
解得x=﹣4,x=3(不符合題意,舍),
當(dāng)x=﹣4時(shí),y=3×(﹣4)﹣9=﹣21,
即E(﹣4.﹣21).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將0.00025用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為( )
A. 2.5×104 B. 0.25×10-4 C. 2.5×10-4 D. 25×10-5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BCD=∠ABD,DE平分∠ADB,下列說法:①AB∥CD;②ED⊥CD;③∠DFC=∠ADC﹣∠DCE;④S△EDF=S△BCF,其中正確的結(jié)論是( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,已知點(diǎn)E在直角△ABC的斜邊AB上,以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點(diǎn)D.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若BE=2,BD=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx+2b+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-3),k滿足|k-3|=4,且y隨x的增大而減小,求此一次函數(shù)的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若|a|=5,|b|=4,且點(diǎn)M(a,b)在第二象限,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是( )
A. (5,4) B. (-5,4) C. (-5,-4) D. (5,-4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【課本引申】
我們知道,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么,三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
【嘗試探究】
(1)如圖1,∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角,試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?
【拓展運(yùn)用】
(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABDE,若∠1+∠2=230°,則剪掉的∠C=_________;
(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題:如圖3,在△ABC中,BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出答案_ .
(4)如圖4,在四邊形ABCD中,BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系?為什么?(若需要利用上面的結(jié)論說明,可直接使用,不需說明理由)
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