Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，6），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上求點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)）

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的另外一個(gè)交點(diǎn)即可；
（3）分兩種情況：①AE⊥x軸，②EA⊥AC，分別寫出E的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，
∵C的坐標(biāo)為（-2，0），A的坐標(biāo)為（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴==2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=，
又∵點(diǎn)A、C在直線y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+4；

（2）由得：=2x+4，
解得：x=1或x=-3，
∵A（1，6），
∴B（-3，-2）；

（3）分兩種情況：①當(dāng)AE⊥x軸時(shí)，
即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
此時(shí)E₁（1，0）；
②當(dāng)EA⊥AC時(shí)，
此時(shí)△ADE∽△CDA，
則=，
DE==12，
又∵D的坐標(biāo)為（1，0），
∴E₂（13，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力．