Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關(guān)于y軸的對稱點為P´（點P´不在y軸上），連接PP´，P´A，P´C．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a．

（1）當(dāng)b=3時，

①求直線AB的解析式；

②若點P′的坐標(biāo)是（﹣1，m），求m的值；

（2）若點P在第一象限，記直線AB與P´C的交點為D．當(dāng)P´D：DC=1：3時，求a的值；

（3）是否同時存在a，b，使△P´CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）①y=x+3   ②       （2）a=       （3）分情況討論，具體過程見解析

【解析】

試題分析：（1）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，

把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，

∴k=，

∴直線的解析式是：y=x+3，

②由已知得點P的坐標(biāo)是（1，m），

∴m=×1+3=；

（2）∵PP′∥AC，

△PP′D∽△ACD，

∴=，即=，

∴a=；

（3）以下分三種情況討論．

①當(dāng)點P在第一象限時，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）

過點P′作P′H⊥x軸于點H．

∴PP′=CH=AH=P′H=AC．

∴2a=（a+4）

∴a=

∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==，即=，

∴b=2

2）若∠P′AC=90°，（如圖2），則四邊形P′ACP是矩形，則PP′=AC．

若△P´CA為等腰直角三角形，則：P′A=CA，

∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==1，即=1

∴b=4

3）若∠P′CA=90°，

則點P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．

②當(dāng)點P在第二象限時，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③當(dāng)P在第三象限時，∠P′AC為鈍角（如圖4），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．

所有滿足條件的a，b的值為：，．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；等腰直角三角形．

點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進(jìn)行分類求解．