Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=-

m-1

2

x²+

3

2

mx+m²-3m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（4，n）在這條拋物線上．
（1）求B點的坐標；
（2）將此拋物線的圖象向上平移

7

2

個單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=

1

2

x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把原點坐標代入拋物線，解關(guān)于m的一元二次方程得到m的值，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0確定出函數(shù)解析式，再把點B坐標代入函數(shù)解析式求出n的值，即可得解；
（2）根據(jù)向上平移縱坐標加解答即可；
（3）把直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)△=0求出b的值，然后令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標，再求出直線經(jīng)過拋物線與x軸左邊交點的b值，然后根據(jù)圖形寫出b的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點O，
∴m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
當(dāng)m=1時，-

m-1

2

=-

1-1

2

=0，
∴m=2，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+3x，
∵點B（4，n）在這條拋物線上，
∴n=-

1

2

×4²+3×4=-8+12=4，
∴點B（4，4）；

（2）∵拋物線的圖象向上平移

7

2

個單位，
∴平移后的圖象的解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+3x+

7

2

；

（3）聯(lián)立

y=- 1 2 x2+3x+ 7 2 y= 1 2 x+b

，
消掉y得，-

1

2

x²+3x+

7

2

=

1

2

x+b，
整理得，x²-5x+2b-7=0，
△=（-5）²-4×1×（2b-7）=0，
解得b=

53

8

，
令y=0，則-

1

2

x²+3x+

7

2

=0，
整理得，x²-6x-7=0，
解得x₁=-1，x₂=7，
∴拋物線與x軸左邊的交點為（-1，0），
當(dāng)直線y=

1

2

x+b經(jīng)過點（-1，0）時，

1

2

×（-1）+b=0，
解得b=

1

2

，
當(dāng)該直線經(jīng)過點（7，0）時，

1

2

×7+b=0，
解得b=-

7

2

，
∴當(dāng)直線y=

1

2

x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍為b＞

53

8

或-

7

2

＜b＜

1

2

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了解一元二次方程，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點在于（3）求出直線與拋物線有三個交點時的b值，作出圖形更形象直觀．