Question

（2011•鄭州模擬）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，l），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)寫出直線y=-

1

2

x+b中b的取值范圍；
（2）若△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為矩形O₁A₁B₁C₁（其中O、A，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O₁、A₁、B₁、C₁），請(qǐng)計(jì)算矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積為多少？（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）尋找兩個(gè)極限位置，①點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，②點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，可得出b的取值范圍．
（2）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點(diǎn)E在OA邊上，只需求出這個(gè)三角形的底邊OE長(zhǎng)（E點(diǎn)橫坐標(biāo)）和高（D點(diǎn)縱坐標(biāo)），代入三角形面積公式即可；②如果點(diǎn)E在AB邊上，這時(shí)△ODE的面積可用長(zhǎng)方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（3）重疊部分是一個(gè)平行四邊形，由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在OA邊上的線段長(zhǎng)度，求出計(jì)算即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，直線DE的解析式為y=-

1

2

x+1，此時(shí)b=1；
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，直線DE的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，此時(shí)b=

5

2

；
故可得b的取值范圍為：1＜b＜

5

2

；
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b=

3

2

，
若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b=

5

2

，
若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b=1，
①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤

3

2

，如圖1：

此時(shí)E（2b，0），
則S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即

3

2

＜b＜

5

2

，如圖2：

此時(shí)E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
則S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE），
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
故S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

．
（3）如圖3，

設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積，
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
則四邊形DNEM為平行四邊形，
根據(jù)軸對(duì)稱知，∠MED=∠NED，
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形，
過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
即矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積為

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于一次函數(shù)與矩形的結(jié)合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是個(gè)不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．