Question

如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關系并加以證明；
（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由；
（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線的性質由角相等得出邊相等；
（2）假設四邊形BCFE，再證明與在同一平面內(nèi)過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；
（3）利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質證明四邊形AECF是正方形．
解答：解：（1）OE=OF．
證明如下：
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE=OC．
同理可證OC=OF．
∴OE=OF．（3分）

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若BCFE為菱形，則BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．（3分）

（3）當點O運動到AC中點時，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）時，四邊形AECF是正方形．
理由如下：
∵O為AC中點，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF為矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時，四邊形AECF是正方形．（3分）
點評：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學們熟練掌握．