Question

已知反比例函數y=

k

x

圖象過第二象限內的點A（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為2，若直線AC經過點A，并且經過反比例函數y=

k

x

的圖象上另一點C（n，-

3

2

）．
（1）反比例函數的解析式為______，m=______，n=______；
（2）求直線AC的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵Rt△AOB面積為2，
∴|k|=4，
則反比例函數的解析式是：y=-

4

x

；
把A（-2，m）代入y=-

4

x

得，m=-

4

-2

=2；
把C（n，-

3

2

）代入y=

4

x

得：-

3

2

=-

4

n

，解得：n=

8

3

；

（2）設直線AC的解析式為y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（

8

3

，-

3

2

）
∵直線AC經過點A、B
∴

-2a+b=2 8 3 a+b=- 3 2

解得

a=- 3 4 b= 1 2

∴直線AC的解析式y(tǒng)=-

3

4

x+

1

2

．

（3）答：存在點P使△PAO為等腰三角形；
∵點A（-2，2），AB=|2|=2，
∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA=

AB2+OB2

=

22+22

=2

2

．
①以點O為圓心，以OA長為半徑畫弧，交y軸于點P₁、P₂，P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

）．（如圖1）
②以點A為圓心，以OA長為半徑畫弧，交y軸于點P₃、另一個交點與點O重合．由勾股定理算得P₃（0，4）．（如圖1）
③作OA的垂直平分線l交y軸于P₄，如圖2，
∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P₄OA=45°
∵直線l是OA的垂直平分線，∴∠P₄KO=90°，OK=

1

2

OA．
∴∠KP₄O=45°，OK=

1

2

×2

2

=

2

，∠P₄OA=∠KP₄O，OK=KP₄=

2

．
∴由勾股定理求得OP₄=2．點P₄（0，2）．
綜上可知：滿足條件的點P的坐標分別為：P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

），P₃（0，4），P₄（0，2）．