Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于E，DE⊥BE．
（1）已知DE=4，BE=6，求tan∠CBE的值．
（2）證明：AC是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BE，∴∠BED=90°．
在Rt△BED中，DE=4，BE=6，
則tan∠EBD==．
又∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠CBE=∠EBD，
∴tan∠CBE=tan∠EBD=；

（2）連接OE．
∵OE=OB（圓O的半徑），
∴∠EBO=∠OEB（等邊對等角）．
又∵∠CBE=∠EBD，即∠CBE=∠EBO（角平分線的性質(zhì)），
∴∠OEB=∠CBE（等量代換），
∴BC∥OE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
又∵∠C=90°，
∴∠OEA=90°，即OE⊥AC，
又∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線．
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和銳角的正切函數(shù)的定義求得tan∠CBE=tan∠EBD=；
（2）連接OE．欲證AC是⊙O的切線，只需證明OE⊥AC即可．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定、解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．