Question

如圖，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點B在x軸的正半軸上，OA邊在直線y=

3

3

x上，AB邊在直線y=-

3

3

x+2上．
（1）直接寫出O、A、B、C的坐標；
（2）在OB上有一動點P，以O為圓心，OP為半徑畫弧MN，分別交邊OA、OC于M、N（M、N可以與A、C重合），作⊙Q與邊AB、BC，弧MN都相切，⊙Q分別與邊AB、BC相切于點D、E，設⊙Q的半徑為r，OP的長為y，求y與r之間的函數關系式，并寫出自變量r的取值范圍；
（3）以O為圓心、OA為半徑做扇形OAC，請問在菱形OABC中，除去扇形OAC后剩余部分內，是否可以截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐．若可以，求出這個圓的面積，若不可以，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點B在x軸的正半軸上，OA邊在直線y=

3

3

x上，AB邊在直線y=-

3

3

x+2上，所以O（0，0），A是兩直線的交點．將兩直線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解之即可得到A的坐標A(

3

，1)，利用菱形的對稱性即可得到B，C點的坐標．
（2）因為⊙Q分別與邊AB、BC相切于點D、E，所以可連接QD、QE，則QD⊥AB，QE⊥BC且QD=QE，從而判斷點Q在∠ABC的平分線上．利用菱形的對角線平分一組內對角可知點Q在OB上，又因⊙Q與弧MN相切于點P，而在Rt△QDB中，∠QBD=30°，所以QB=2QD=2r，即y+3r=2

3

，整理即可得到所要求的解析式．
（3）因為以O為圓心、OA為半徑做扇形OAC，則弧AC的長為

2

3

π，設截下的⊙Q符合條件，其半徑為R，則2πR=

2

3

π，所以R=

1

3

，由（2）知，此時OA=y=2，則⊙Q的半徑大于R，能截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐，從而求此圓的面積．

解答：解：（1）O（0，0），A(

3

，1)，B(2

3

，0)，C（

3

，-1）；（2分）

（2）連接QD、QE，則QD⊥AB，QE⊥BC．
∵QD=QE，
∴點Q在∠ABC的平分線上．
又∵OABC是菱形，
∴點Q在OB上．
∴⊙Q與弧MN相切于點P．
在Rt△QDB中，∠QBD=30°，
∴QB=2QD=2r．
∴y+3r=2

3

，
∴y=2

3

-3r．
∵y＞0，
∴2

3

-3r＞0，
∴r＜

2 3

3

，
∵A（

3

，1）
∴AO=2，
∴2

3

-3r≤2，
解得：

2 3 -2

3

≤r，
故

2 3 -2

3

≤r＜

2 3

3

．

（3）可以．
理由：弧AC的長為

2

3

π．
設截下的⊙Q符合條件，其半徑為R，則2πR=

2

3

π．
∴R=

1

3

．
由（2）知，此時OA=y=2，則⊙Q的半徑R=

2 3 -2

3

＞

1

3

，
∴能截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐，
此圓的面積為S=πR2=

1

9

π．

點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用菱形的性質、切線的性質即可解決問題．