Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從A點(diǎn)、C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點(diǎn)和沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過(guò)幾秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點(diǎn)P，使2EP•AE=EF•AP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明P點(diǎn)的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證EF一定平分AC，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得AE的長(zhǎng)，從而求得時(shí)間t的值；
（2）當(dāng)EP⊥AD時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到2EP•AE=EF•AP，根據(jù)△AEP∽△ADC，即可求得AP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）在直角△ACD中，AC===20cm．
設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)EF⊥AC．
則AE=CF=2t，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
在△AME和△CMF中，
，
∴△AME≌△CMF（AAS）．
則AM=MC=AC=×20=10cm．
當(dāng)EF⊥AC時(shí)，△AEM∽△ACD，
∴=，即=，
解得：AE==．
則t==（s）；


（2）存在．
∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=EF，
當(dāng)EP⊥AD時(shí)，△AME∽△AEP，=，即AE•EP=AP•ME=AP•EF，
即2EP•AE=EF•AP．
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴=，即=，
解得：AP=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，正確理解當(dāng)EP⊥AD時(shí)，2EP•AE=EF•AP成立，是關(guān)鍵．