Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形AOBC在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4）．

（1）求對(duì)角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對(duì)角線AB的垂直平分線MN交x軸于點(diǎn)M，連接AM，求線段AM的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAM的面積與長(zhǎng)方形OABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形AOBC為長(zhǎng)方形，且點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），

∴AO=CB=4，OB=AC=8，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）．

設(shè)對(duì)角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

則有 ，解得： ，

∴對(duì)角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣ x+4

（2）

解：∵四邊形AOBC為長(zhǎng)方形，且MN⊥AB，

∴∠AOB=∠MNB=90°，

又∵∠ABO=∠MBN，

∴△AOB∽△MNB，

∴ ．

∵AO=CB=4，OB=AC=8，

∴由勾股定理得：AB= =4 ，

∵M(jìn)N垂直平分AB，

∴BN=AN= AB=2 ．

= = ，即MB=5．

OM=OB﹣MB=8﹣5=3，

由勾股定理可得：

AM= =5

（3）

解：∵OM=3，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，0）．

又∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），

∴直線AM的解析式為y=﹣ x+4．

∵點(diǎn)P在直線AB：y=﹣ x+4上，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣ m+4），

點(diǎn)P到直線AM： x+y﹣4=0的距離h= = ．

△PAM的面積S△PAM= AMh= |m|=SOABC=AOOB=32，

解得m=± ，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）

【解析】（1）由坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義結(jié)合圖形可得出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出對(duì)角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式，由待定系數(shù)法即可求得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)找到BM的長(zhǎng)度，再結(jié)合OM=OB﹣BM得出OM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出線段AM的長(zhǎng)；（3）先求出直線AM的解析式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離求出AM邊上的高h(yuǎn)，再結(jié)合三角形面積公式與長(zhǎng)方形面積公式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．