Question

已知，等邊三角形ABC，D是AB上一點，DE⊥BC，垂足為E，EF⊥AC，垂足為F，F(xiàn)D⊥AB．
（1）說明△DEF 為等邊三角形的理由；（2）若AD=2，試求△ABC和△DEF的面積．

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵FD⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠EDF=60°，
同理，∠DEF=60°，
∴△DEF為等邊三角形，

（2）∵△DEF為等邊三角形，
∴DE=DF=EF，
∵∠DEB=∠ADF=∠EFC=90°，∠A=∠B=∠C=60°，
∴在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴同理，△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AF=BD=EC，且AD=BE=CF，
∴AD=2，∠ADF=90°，∠A=60°，
∴AF=4，DF=2，
∴AB=6，
∴AB=BC=AC=6，DF=DE=EF=2，
過A作AM⊥BC于M，
則BM=MC=3，由勾股定理得：AM=3，
∴S_△ABC=BC×AM=×6×3=9，
同理S_△DEF=×2×3=3．
∴S_△ABC=9，S_△DEF=3．
分析：（1）由等邊三角形ABC，DE⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，根據(jù)平角的性質(zhì)、垂直的定義即可推出∠EDF=60°，同樣的道理推出∠DEF=60°，即可推出△DEF為等邊三角形；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，結(jié)合全等三角形的判定定理“AAS”，即可得，△ADF≌△BED≌△CFE，再通過直角三角形中特殊角的三角函數(shù)，即可推出DF、DE、EF的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出
點評：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，關鍵在于通過求相關角的度數(shù)推出△DEF為等邊三角形，根據(jù)相關的定理求證相關的三角形全等，通過認真的計算求得三角形的三邊長度．