【題目】在△ABC中,∠A90°,ABAC.
(1)如圖1,△ABC的角平分線BD,CE交于點(diǎn)Q,請(qǐng)判斷“”是否正確:________(填“是”或“否”);
(2)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),連接PA,PB,且PB PA.
①如圖2,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),∠ABP30°,求∠PAB的大小;
②如圖3,點(diǎn)P在△ABC外,連接PC,設(shè)∠APCα,∠BPCβ,用等式表示α,β之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)否;(2)①45°;②.
【解析】試題分析:
(1)如圖4,把△AQC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AQ1B,連接QQ1,則由題意易得QQ1=AQ,由已知條件可證∠BQ1Q∠Q1BQ,從而可得BQQQ1=AQ;
(2)①如圖5,過(guò)點(diǎn)PD⊥AB于點(diǎn),結(jié)合∠ABP=30°可得PD=PB,結(jié)合PB=PA可得PD=PA,由此即可得到sin∠PAB=,結(jié)合∠PAB是銳角即可得到∠PAB=45°;
②如圖6,把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD,連接DC,DP,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ∠1=∠2,PB=CD,∠DAP=90°,AD=AP,由此可得PD=PA,結(jié)合PB=PA可證得PD=DC,從而得到∠PCD=∠CPD=45°+α,由此可得∠3=180°-2∠CPD=90°-2α,結(jié)合∠1=∠2= ,可得∠1+∠3=90°- =∠ADP=45°,變形即可得到: .
試題解析:
(1)如圖4,把△AQC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AQ1B,連接QQ1,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:AQ1=AQ,∠Q1AQ=90°,
∴QQ1=AQ,
∵BQ、CQ分別平分∠ABC、∠ACB,
∴AQ平分∠BAC,
∴∠AQ1C=∠AQC=112.5°,
∴∠BQ1Q=112.5°-45°=67.5°,
∵∠Q1BQ=45°,
∴∠Q1BQ∠BQ1Q,
∴BQQ1Q=AQ.
故答案為:“否”;
(2)① 如圖5,作PD⊥AB于D,則∠PDB=∠PDA=90°,
∵ ∠ABP=30°,
∴.
∵,
∴.
∴.
又∵∠PAB是銳角,
∴∠PAB=45°.
②,理由如下:
如圖6,把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD,連接DC,DP,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ∠1=∠2,PB=CD,∠DAP=90°,AD=AP,
∴,∠ADP=∠APD=45°.
又∵,
∴ PD=PB=CD.
∴ ∠DCP=∠DPC.
∵ ∠APCα,∠BPCβ,
∴, .
∴.
∴.
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 (a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;
②方程 的兩個(gè)根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當(dāng)x<0時(shí),y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn),連結(jié)DF、CF.
(1)如圖1, 當(dāng)點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),請(qǐng)你判斷此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),若AD=1,AC=,求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:平面內(nèi)一點(diǎn)A.
求作:∠A,使得∠A30°.
作法:如圖,
(1)作射線AB;
(2)在射線AB上取一點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓,與射線AB相交于點(diǎn)C;
(3)以C為圓心,OC為半徑作弧,與⊙O交于點(diǎn)D,作射線AD.
∠DAB即為所求的角.
請(qǐng)回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中, , °,點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°至,連接.已知AB2cm,設(shè)BD為x cm,B為y cm.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究,下面是小明的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整.(說(shuō)明:解答中所填數(shù)值均保留一位小數(shù))
(1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,得到了與的幾組值,如下表:
0.5 | 0.7 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 | ||
1.7 | 1.3 | 1.1 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象.
(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:
線段的長(zhǎng)度的最小值約為__________ ;
若 ,則的長(zhǎng)度x的取值范圍是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為2元的賀卡,在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷(xiāo)售單價(jià)x(元)與日銷(xiāo)售量y(個(gè))之間有如下關(guān)系:
日銷(xiāo)售單價(jià)x(元) | 3 | 4 | 5 | 6 |
日銷(xiāo)售量y(個(gè)) | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)猜測(cè)并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫(huà)出圖象;
(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此賀卡的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元,求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式,
(3)若物價(jià)局規(guī)定此賀卡的售價(jià)最高不能超過(guò)10元/個(gè),請(qǐng)你求出當(dāng)日銷(xiāo)售單價(jià)x定為多少時(shí),才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古代阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家泰比特·伊本·奎拉對(duì)勾股定理進(jìn)行了推廣研究:如圖(圖1中為銳角,圖2中為直角,圖3中為鈍角).
在△ABC的邊BC上取, 兩點(diǎn),使,則∽∽, , ,進(jìn)而可得 ;(用表示)
若AB=4,AC=3,BC=6,則 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)P(t,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),Q(0,2t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn).若線段PQ與函數(shù)y=﹣|x|2+2|x|+3的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),則t的取值是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示.
(1)試求該二次函數(shù)的解析式和它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)觀察圖象回答,x何值時(shí)y的值大于0?
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