Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4，動點M從點B出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度向終點C運動；動點N同時從點C出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t秒
（1）直接寫出梯形ABCD的中位線長；
（2）當MN∥AB時，求t的值；
（3）試探究：t為何值時，△CMN為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用梯形中位線的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根據平行四邊形的性質和相似三角形的性質求解；
（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應考慮三種情況．結合路程=速度×時間求得其中的有關的邊，運用等腰三角形的性質和解直角三角形的知識求解．
解答：解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位線長為：（3+10）÷2=6.5；

（2）如圖1，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由題意知，當M、N運動到t秒時，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴=，
即=．
解得，t=；

（3）分三種情況討論：
①當NC=MC時，如圖2，即t=10-2t，
解得：t=；
②當MN=NC時，如圖3，過N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三線合一性質得
EC=MC=（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC==，
∴=．
解得：t=；
③當MC=MN時，如圖4，過M作MF⊥CN于F點，F(xiàn)C=NC=t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴=，
即=，
解得：t=．
綜上所述，當t=、t=或t=時，△MNC為等腰三角形．
點評：此題主要考查了四邊形綜合應用以及相似三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)等知識，注意梯形中常見的輔助線：平移一腰、作兩條高．構造等腰三角形的時候的題目，注意分情況討論．此題的知識綜合性較強，能夠從中發(fā)現(xiàn)平行四邊形、等腰三角形等，根據它們的性質求解．