Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分線(xiàn)BF于點(diǎn)F，設(shè)C（m，n）．

（1）若m = n時(shí)，如圖，求證：EF = AE；

（2）若m≠n時(shí)，如圖，試問(wèn)邊OB上是否還存在點(diǎn)E，使得EF = AE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若m = tn（t＞1）時(shí)，試探究點(diǎn)E在邊OB的何處時(shí)，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）由題意得m = n時(shí)，AOBC是正方形　　　　　　　　　　　　　 ．

如圖，

在OA上取點(diǎn)C，使AG = BE，則OG = OE．

∴ ∠EGO = 45°，從而 ∠AGE = 135°．

由BF是外角平分線(xiàn)，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．

∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．

在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，

∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使EF = AE．設(shè)E（a，0）．作FH⊥x軸于H，如圖．

由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．

∴ FH = OE，EH = OA．

∴ 點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為a，即 FH = a．

由BF是外角平分線(xiàn)，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．

又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，

∴ EH = m－a + a = m．

又EH = OA = n， ∴ m = n，這與已知m≠n相矛盾．

因此在邊OB上不存在點(diǎn)E，使EF = AE成立．

（3）如（2）圖，設(shè)E（a，0），FH = h，則EH = OH－OE = h + m－a．

由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，

∴ EF =（t + 1）AE等價(jià)于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，

且，即，

整理得 nh = ah + am－a²，∴ ．

把h =（t + 1）a 代入得 ，

即 m－a =（t + 1）（n－a）．

而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．

化簡(jiǎn)得 ta = n，解得．

∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB邊上．

∴當(dāng)E在OB邊上且離原點(diǎn)距離為處時(shí)滿(mǎn)足條件，此時(shí)E（，0）．