Question

如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，在劣弧     上取一點(diǎn)E，并使∠EBC＝∠DEC，延長(zhǎng)BE依次交AC于G，交⊙O于H

1.求證：AC⊥BH

2.若∠ABC＝45°，⊙O的直徑等于10，BD＝8，求CE的長(zhǎng)

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.連接AD，………………………………………1分

         ∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，

         ∴∠DAC＝∠EBC，…………………………………2分

         又∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，………3分

         ∴∠EBC＋∠BCG＝∠DAC＋∠DCA＝90°，

        

∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH．……………………5分

2.∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，

         ∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝8，……………………6分

         又∵AC＝10，∴在Rt△ADC中由勾股定理，得：

         ，

         ∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14，……………………………7分

        又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，

        ∴△BCG∽△ACD，

∴，∴，………8分

連接AE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，

∴Rt△AEC∽R(shí)t△EGC，∴，∴，

∴．……………………………………10分

 【解析】(1)利用園的直徑對(duì)應(yīng)的園周角為直角，再根據(jù)角的等量代換得出∠BGC＝90°，從而得出AC⊥BH；

     （2）先用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后利用△BCG∽△ACD求出CG的長(zhǎng)，再利用Rt△AEC∽R(shí)t△EGC求出CE的長(zhǎng)。