Question

（2010•邢臺二模）規(guī)律：
如圖1，直線m∥n，A、B為直線n上的點，C、P為直線m上的點．如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么無論點P移動到何位置，△ABP與△ABC的面積總相等，其理由是

同底等高的兩個三角形面積相等

．
應用：
（1）如圖2，△ABC和△DCE都是等邊三角形，若△ABC的邊長為1，則△BAE的面積是

3

4

．
（2）如圖3，四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的邊長為4，求△ACF的面積．
（3）如圖4，五邊形ABCDE和五邊形BFGHP都是正五邊形，若正五邊形ABCDE的邊長為a，求△ACH的面積（結果不求近似值）．

Answer 1

分析：因為三角形的面積等于底與高乘積的一半，而兩平行線之間的距離處處相等，所以根據(jù)題意知△PAB和△ABC是同底等高的兩個三角形，它們的面積相等．
（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCE=60°，再由平行線的判定得出AB∥CE，然后根據(jù)規(guī)律：同底等高的兩個三角形面積相等，得出△BAE的面積等于△ABC的面積；
（2）連接BF，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BAC=∠BFE=45°，再由平行線的判定得出AC∥BF，然后根據(jù)規(guī)律：同底等高的兩個三角形面積相等，得出△ACF的面積等于△ABC的面積；
（3）連接BH，先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理得出∠ACB=∠PBH=36°，然后由平行線的判定得出AC∥BH，從而根據(jù)規(guī)律：同底等高的兩個三角形面積相等，得出△ACH的面積等于△ABC的面積．

解答：解：由題意可得，無論P點移動到任何位置總有△PAB與△ABC的面積相等．
理由是同底等高的兩個三角形面積相等．

（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DCE=60°，
∴AB∥CE，
∴△BAE的面積=△ABC的面積=

3

4

；

（2）連接BF．
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，
∴∠BAC=∠BFE=45°，
∴AC∥BF，
∴△ACF的面積=△ABC的面積=

1

2

×正方形ABCD的面積=8；

（3）連接BH．
∵五邊形ABCDE和五邊形BFGHP都是正五邊形，
∴∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，
∴∠ACB=∠PBH=36°，
∴AC∥BH，
∴△ACH的面積=△ABC的面積=

1

2

a²sin72°．

點評：本題主要考查等邊三角形、正方形、正五邊形的性質(zhì)及面積公式，屬于數(shù)形結合題．都是根據(jù)等底等高的三角形面積相等求解．