(2011•香坊區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn).是坐標(biāo)原點(diǎn),AB∥y軸,將△ABO沿A0翻折后,點(diǎn)B落在點(diǎn)D處,AD交y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DC⊥X軸于點(diǎn)C.OB=5,OC=3.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo):
(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿線段A0以
5
個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā),沿射線AD以3個(gè)單位,秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)△PQD的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出自變.量t的取值范圍):
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)Q作射線AD的垂線交射線A0于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),MN=
5
4
PN.
分析:(1)作DH⊥AB于H,由條件和勾股定理可以求出CD=BH=4,BC=DH=8,在Rt△AHD中由勾股定理得AH,從而可以求出AB,進(jìn)而可以求出A的坐標(biāo).
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于F,當(dāng)點(diǎn)Q在射線AD上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AD于G,利用三角形相似就可以用t表示出PF或PG,再利用三角形的面積公式就可以表示出△PDQ的面積.
(3)如圖3,如圖4,作OK⊥MN,OR⊥MN,利用三角形相似的性質(zhì)可以用含t的式子表示出PN、MN,再根據(jù)MN=
5
4
PN.就可以求出其滿足條件的t值.
解答:解:(1)在Rt△ODC中,由勾股定理,得
DC=4.過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,則在Rt△ADH中,
AH2+DH2=AD2
∴(AD-4)2+82=AD2
∴AD=10,
∴A(-5,10)


(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于F.
∴QD=10-3t,AP=
5
t,由△APF∽△AOD,
PF
5
=
5
t
5
5
,
∴PF=t,
∴S△PQD=
1
2
QD•PF=-
3
2
t2+5t(0<t<
10
3
).
當(dāng)點(diǎn)Q在射線AD上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AD于G,
∴QD=3t-10,AP=
5
t,同上得:PG=t,
∴S△PQD=
1
2
QD•PG=
3
2
t2-5t(
10
3
<t≤5).


(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AQ上時(shí),過(guò)點(diǎn)O作OK⊥MN于K,
∴△MOK∽△ODC,
∵OK=QD=10-3t,QN=
3
2
t,
∴MK=
3
4
(10-3t),MQ=
3
4
(10-3t)+5MN=MQ-QN=-
25
4
t+
25
2

∵M(jìn)N=
5
4
PN,
∴MN=
5
4
(AN-AP),
∴-
25
4
t+
25
2
=
5
4
3
5
t
2
-
5
t),
∴t=
20
7

當(dāng)點(diǎn)Q在射線AD上時(shí),過(guò)點(diǎn)O作OR⊥MN于R,
∴△MOR∽△ODC.
∵OR=QD=3t-10,QN=
3
2
t.
∴MR=
3
4
(3t-10),MQ=5-
3
4
(3t-10)=-
9
4
t+
25
2
,MN=QN-MQ=
15
4
t-
25
2

∵M(jìn)N=
5
4
PN,
∴MN=
5
4
(AN-AP),
15
4
t-
25
2
=
5
4
3
5
t
2
-
5
t),
∴t=4
點(diǎn)評(píng):本題考查了翻折變換,點(diǎn)的坐標(biāo),三角形的面積,勾股定理的運(yùn)用,相似三角形的判定與性質(zhì).
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1.37×109
1.37×109
人.

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