Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直于直線(xiàn)OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線(xiàn)上？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出此拋物線(xiàn)的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由與t的取值范圍不能確定，故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出其面積；
②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S_梯形OAGP，由梯形的面積公式即可求解；
③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN，進(jìn)而可求出答案；
（3）利用已知得出∠BAO=∠QPC，只要

PC

PQ

=

AO

AB

或者

PC

PQ

=

AB

AO

即可得出以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，進(jìn)而求出即可；
（4）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可求出t的值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx（a≠0），將A．B點(diǎn)坐標(biāo)代入得出：

1=a+b 1=9a+3b

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

，
故經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為：y=-

1

3

x²+

4

3

x．

（2）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分為△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，
如圖1．
在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．
∴OQ=PQ=

2

2

t．
∴S=S_△OPQ=

1

2

OQ•PQ=

1

2

×

2

2

t×

2

2

t=

1

4

t²（0＜t≤2）；
②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，重疊部分為梯形AOPE，
作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2．∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四邊形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．
∴S=S_梯形AOPE=

1

2

（AE+OP）•AD=

1

2

（t-2+t）×1
=t-1（2＜t≤3）；
③當(dāng)3＜t＜4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
重疊部分為五邊形AOCFE，如圖3．
∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-（t-3）=4-t
∴S=S_{五邊形AOCFE}=S_梯形OABC-S_△BEF，
=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）²
=-

1

2

t²+4t-

11

2

（3＜t＜4）；

（3）連接QC，OB，
∵AB∥OC，
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=45°，∠OQP=90°，
∴∠QPO=45°，
∵∠QPO+∠QPC=180°，
∴∠BAO=∠QPC，
只要

PC

PQ

=

AO

AB

或者

PC

PQ

=

AB

AO

即可得出以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，
得出：3-t=

2

2

×

2

2

t 或3-t=

2

×

2

2

t
解得：t=2或t=

3

2

；

（4）存在，t₁=1，t₂=2．
將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)Q（t+

t

2

，

t

2

），O（t，t）
①當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上時(shí)，

t

2

=-

1

3

×（t+

t

2

）²+

4

3

×（t+

t

2

），
解得t=2；
②當(dāng)點(diǎn)O在拋物線(xiàn)上時(shí)，t=-

1

3

t²+

4

3

t，
解得：t=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式、梯形的面積公式及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．