Question

如圖1，在平面直角坐標系中，⊙O1與x軸切于A（－3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連接AB。

（1）求證：∠ABO1=∠ABO；

（2）求AB的長；

（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O2與y軸的正半軸交于M，與O1B的延長線交于N，當⊙O2的大小變化時，得出下列兩個結(jié)論：①BM－BN的值不變；②BM＋BN的值不變。其中有且只有一個結(jié)論正確，請判斷①、②中哪個結(jié)論正確，并說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）2；（3）①，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接O1A，由圓O1與x軸切于A，根據(jù)切線的性質(zhì)得到O1A垂直于OA，由OB與AO垂直，根據(jù)平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O1A與OB平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對內(nèi)錯角相等，再由O1A=O1B，根據(jù)等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出∠ABO1=∠ABO，得證；

（2）作O1E⊥BC于點E，根據(jù)垂徑定理得到E為BC的中點，由點O1的坐標為（?，-2），可求得OE=O1B=O1A=2，O1E=OA=，然后由勾股定理求得BE的長，繼而求得OB與OC以及AB的長，；

（3）兩個結(jié)論中，①BM-BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1為四邊形ABMN的外角，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代換可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代換可得出∠NMA=∠ANM，根據(jù)等角對等邊可得出AM=AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AG=AB，由AO與BG垂直，根據(jù)三線合一得到O為BG的中點，根據(jù)OB的長求出BG的長，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG為常數(shù)得到BM-BN的長不變，得證．

試題解析：（1）連接O1A，則O1A⊥OA，

又∵OB⊥OA，

∴O1A∥OB，

∴∠O1AB=∠ABO，

又∵O1A=O1B，

∴∠O1AB=∠O1BA，

∴∠ABO1=∠ABO；

（2）過點作O1E⊥BC于點E，

∴BE=CE，

∵點O1的坐標為（?，-2），

∴OE=O1B=O1A=2，O1E=OA=，

∴在Rt△BO1E中，BE=，

∴OB=OE-BE=2-1=1，OC=OE+CE=2+1=3，

∴；

（3）①正確．理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，

∵∠ABO1為四邊形ABMN的外角，

∴∠ABO1=∠NMA，

又∵∠ABO1=∠ABO，

∴∠ABO=∠NMA，

又∵∠ABO=∠ANM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

∵∠AMG和∠ANB都為所對的圓周角，

∴∠AMG=∠ANB，

∵在△AMG和△ANB中，

，

∴△AMG≌△ANB（SAS），

∴AG=AB，

∵AO⊥BG，

∴BG=2BO=2，

∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不變．

考點: 圓的綜合題.