Question

（2010•莆田質(zhì)檢）某課題組在探究“泵站問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：
直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最�。�解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．
請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要在AC上找一點(diǎn)P，使PB+PE的值最小．設(shè)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′，使PB+PE的值最小就是使PB′+PE的值最小．
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′，根據(jù)垂線段最短及兩點(diǎn)之間，線段最短可知當(dāng)B′、M、N三點(diǎn)共線且B′N⊥AB時(shí)BM+MN的值最�。�
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可知本題即求點(diǎn)P（x，0）（0≤x≤4）到點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（4，2）的距離之和的最小值，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，即可求解．
解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最小，連接AB′．

∵∠B′AC=∠BAC=45°，∴∠B′AB=90°．
又∵AB′=AB=，AE=，
∴PB+PE的最小值=B′E=．

（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．
此時(shí)BM+MN的值最�。瓸M+MN=B′N．
理由：如圖1，在AC上任取一點(diǎn)M₁（不與點(diǎn)M重合），
在AB上任取一點(diǎn)N₁，連接B′M₁、BM₁、M₁N₁、B′N₁．

∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，
∴BM₁=B′M₁，
∴BM₁+M₁N₁=B′M₁+M₁N₁＞B′N₁．
又∵B′N₁＞B′N，BM+MN=B′N，
∴BM₁+M₁N₁＞BM+MN．
計(jì)算：如圖2

∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，
∴AB′=AB，
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等邊三角形．
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°．
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B•sin60°=．

（3）構(gòu)造圖形如圖所示：

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）．
那么PA+PB=．
所求的最小值就是求PA+PB的最小值．
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過A′作y軸的垂線，過點(diǎn)Bx軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)C．
則A′C=4，BC=3，A′B=．
所求的最小值是5．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題．解這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．