Question

在圖①至圖③中，△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，點P在AC上，∠MPN=90°．
（1）當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上，且PM⊥AB，PN⊥BC（如圖①）時，則PN和PM的數(shù)量關系是：PN=______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用矩形的判定得出四邊形MPNB是矩形，進而得出AM=BM=PN，再利用∠A=30°，即可得出PN和PM的數(shù)量關系；
（2）過P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先證△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，聯(lián)立PC、PA的比例關系，即可得到PF：PE的值，從而求得PN、PM的比例關系．
（3）過P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先證△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，聯(lián)立PC、PA的比例關系，即可得到PF：PE的值，從而求得PN、PM的比例關系．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠MPN=90°，PM⊥AB，PN⊥BC
∴四邊形MPNB是矩形，
∵點P為線段AC的中點，
∴AM=BM=PN，
∵∠A=30°，
∴MP=AM，
∴PN=PM；
故答案為：；

（2）在Rt△ABC中，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點F；
∴四邊形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∵cos30°=，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵點P為線段AC的中點，
∴=；

（3）如圖中都有結論：PN=PM．
在Rt△ABC中，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點F；
∴四邊形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵PC=PA，∴=，
即PN=PM．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質，利用（1）中特殊點的證明思路得出（2）、（3）使得此題的難度有所降低，熟練地應用相似的性質與判定是解決問題的關鍵．