Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P為對角線AC上一動點，PE⊥PF分別交AD、AB于E、F，求的值．

Answer 1

解：作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠B=90°，DC=AB=3，
∴PM∥DC，PN∥BC，
∴△APM∽△ACD，△ANP∽△ABC，
∴=，=，
∴=，
∴==，
∵PM∥DC，PN∥BC，
∴∠MPN=90°，即∠1+∠EPN=90°，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，即∠2+∠EPN=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△PME∽Rt△PFN，
∴=．
分析：作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠D=∠B=90°，DC=AB=3，利用PM∥DC，PN∥BC可判斷△APM∽△ACD，△ANP∽△ABC，則=，=，等量代換后得==，由于∠EPF=90°，即∠2+∠EPN=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠2，于是可判斷Rt△PME∽Rt△PFN，然后利用相似的性質(zhì)求解．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了矩形的性質(zhì)．