Question

已知雙曲線y=

3

x

和直線y=kx+2（k是常數(shù)）相交于點A（x₁，y₁）和點B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）且x12+x22=10．
（1）求k值；
（2）在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由兩函數(shù)有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，將已知等式利用完全平方公式變形后，將兩根之和與兩根之積代入得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）由k的值確定出一次函數(shù)解析式，在同一個坐標系中畫出兩函數(shù)圖象，求出兩函數(shù)交點A與B的坐標，由A與B的橫坐標及0，將x軸分為四個范圍，在圖象上找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時x的范圍即可．

解答：解：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

y= 3 x y=kx+2

，
消去y得：

3

x

=kx+2，即kx²+2x-3=0，
∴△=b²-4ac=4+12k＞0，即k＞-

1

3

，
∴x₁+x₂=-

2

k

，x₁x₂=-

3

k

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4

k2

+

6

k

=10，
整理得：5k²-3k-2=0，即（5k+2）（k-1）=0，
解得：k=-

2

5

（不合題意，舍去）或k=1，
則k的值為1；
（2）由k=1得到一次函數(shù)解析式為y=x+2，與反比例函數(shù)y=

3

x

聯(lián)立，
可得A（1，3），B（-3，1），
在同一個坐標系中畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示，

由圖象可得：一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍為-3＜x＜0或x＞1．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的運用，一元二次方程的解法，以及坐標與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．