Question

若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，試證：x＞0，y＞0，z＞0．

Answer 1

解：假設(shè)x，y，z不都為正，不妨設(shè)x＜0，
由于xyz＞0，所以y，z有一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，不妨設(shè)y＜0，z＞0，則z＞-（x+y），xy+yz+zx=xy+z（x+y），由于|z|＞|x|，|x+y|＞|y|，xy＞0，z（x+y）＜0，
所以xy+z（x+y）＜0，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，所以x＞0，y＞0，z＞0．
分析：本題比較復(fù)雜，從正面無法證明，可利用反證法，設(shè)x＜0，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出與已知相矛盾的結(jié)論，可求出假設(shè)錯(cuò)誤，從而得到原結(jié)論正確．
點(diǎn)評：本題考查的是用反證法證明不等式的解集，反證法是一種常用的證明方法，同時(shí)在解答此類問題時(shí)要熟知不等式的基本性質(zhì)．