Question

17．閱讀下列材料，解決后面兩個(gè)問題：
我們可以將任意三位數(shù)$\overline{abc}$（其中a、b、c分別表示百位上的數(shù)字，十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字，且a≠0），顯然$\overline{abc}$=100a+10b+c；我們形如$\overline{xyz}$和$\overline{zyx}$的兩個(gè)三位數(shù)稱為一對(duì)“姊妹數(shù)”（其中x、y、z是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)）如：123和321是一對(duì)姊妹數(shù)，678和876是一對(duì)“姊妹數(shù)”．
（1）寫出任意兩對(duì)“姊妹數(shù)”，并判斷2331是否是一對(duì)“姊妹數(shù)”的和；
（2）如果用x表示百位數(shù)字，求證：任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義直接寫出兩對(duì)“姊妹數(shù)”，根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義設(shè)出一個(gè)三位數(shù)，表示出它的“姊妹數(shù)”，求和，用2331建立方程求解，最后判斷即可；
（2）表示出這對(duì)“姊妹數(shù)”，并且求和，寫成37×6（x-1），判斷6（x-1）是整數(shù)即可．

解答 解：（1）根據(jù)“姊妹數(shù)”滿足的條件得，$\overline{234}$和$\overline{432}$是一對(duì)姊妹數(shù)，$\overline{345}$和$\overline{543}$是一對(duì)姊妹數(shù)；
假設(shè)是一對(duì)“姊妹數(shù)”的和，
設(shè)這對(duì)“姊妹數(shù)”中的一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為（x-1），百位數(shù)字為（x+1），（x為大于1小于9的整數(shù)），
∴這個(gè)三位數(shù)為100（x+1）+10x+x-1=111x+99，
∴另一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為（x+1），百位數(shù)字為（x-1），則這個(gè)三位數(shù)為100（x-1）+10x+x+1=111x-99，
∴這對(duì)“姊妹數(shù)”的和為（111x+99）+（111x-99）=222x=2331，
∴x=10$\frac{1}{2}$，不符合題意，
∴2331不是一對(duì)“姊妹數(shù)”的和；
（2）∵x表示一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字，（x為大于2小于9的整數(shù)），
根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義得，這個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為（x-1），個(gè)位數(shù)字為（x-2），
∴這個(gè)三位數(shù)為：100x+10（x-1）+（x-2）=111x-12，
∴它的“姊妹數(shù)”為：100（x-2）+10（x-1）+x=111x-210，
∴這對(duì)“姊妹數(shù)”的和為：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222（x-1）=37×6（x-1），
∵x為大于2小于9的整數(shù)，
∴（x-1）是整數(shù)，
∴6（x-1）是整數(shù)，
∴37×6（x-1）能被37整除，
即：任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除．

點(diǎn)評(píng) 此題是因式分解的應(yīng)用，主要考查了新定義，解一元一次方程，這出問題，解本題的關(guān)鍵是理解“姊妹數(shù)”的意義，并且會(huì)用它解決問題．