Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP=    時(shí)，△APE的周長(zhǎng)最小．

Answer 1

【答案】分析：延長(zhǎng)AB到M，使BM=AB，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，連接EM交BC于P，此時(shí)AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長(zhǎng)，根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP長(zhǎng)．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠ABC，AB=CD=4，BC=AD=8，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴DE=CE=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==2，
即△APE的邊AE的長(zhǎng)一定，
要△APE的周長(zhǎng)最小，只要AP+PE最小即可，
延長(zhǎng)AB到M，使BM=AB=4，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，
連接EM交BC于P，此時(shí)AP+EP的值最小，
AP+PE=EM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴=，
∴=，
解得：CP=，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是找出符合條件的P點(diǎn)的位置，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．