Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．
（1）弦長AB等于______（結果保留根號）；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)；
（3）當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

（1）過點O作OE⊥AB于E，
則AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2×

3

2

=

3

，
∴AB=2

3

；
故答案為：2

3

；

（2）連接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=

1

2

AB=

3

．
∴當AC的長度為

3

時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似．