Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點A（0，3）為圓心的⊙A與x的負半軸交于點B（-4，0），與x的正半軸交于點C，與y軸的負半軸交于點D．
（1）求C、D兩點的坐標；
（2）求經過點B、C、D的二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PCD被x軸平分？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理可知，CO=OB=4，可得C點坐標；利用勾股定理可求出D點坐標；
（2）已知或已求出B、C、D三點坐標，設出一般式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先假設存在符合條件的點P，根據“存在點P，使得∠PCD被x軸平分”通過計算找到這個點，即可說明其存在．
解答：解：（1）利用垂徑定理可得C（4，0），（2分）
利用勾股定理可求出半徑為5，從而可得D（0，-2）（2分）

（2）把點B（-4，0）、C（4，0）、D（0，-2）代入解析式得，，
解得a=-，b=0，c=-2．
二次函數(shù)的解析式為y=x²-2．（3分）．

（3）假定在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PCD被x軸平分．
由于∠OCD是銳角，
所以∠PCO也是銳角．
設PC與y軸的正半軸交于點E．則由對稱性可得E（0，2），
設直線EC的解析式為y=-x+2
解方程組
得或．
即直線EC與拋物線的交點為C（4，0）和P（-8，6）．
所以在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PCD被x軸平分．
點P的坐標為（-8，6）．（3分）
（注：也可過點P作x軸的垂線PM，利用：△PCM∽△DOC，找到P的橫縱坐標關系代入y=-x+2求解．）
點評：此題考查了垂徑定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)交點坐標與方程組的解的關系，（3）是結論開放性題目，需要進行探索．