Question

（2009•寧夏）如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）在拋物線(xiàn)上除C點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線(xiàn)y=-x²+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，分別將x=0，y=0代入求得A、B、C的坐標(biāo)；
（2）由（1）得到邊AB，AC，BC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)判定△ABC為直角三角形；
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得另一點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=-x²+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴-x²+x+2=0．即x²-x-4=0．
解之得：x₁=-，x₂=2．
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-，0）、B（2，0）．（2分）
將x=0代入y=-x²+x+2，得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；（3分）

（2）∵AC=，BC=2，AB=3，
∴AB²=AC²+BC²，則∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）當(dāng)PC∥x軸，即P點(diǎn)與C點(diǎn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）
設(shè)y=2，把y=2代入y=-x²+x+2得：-x²+x+2=2，
∴x₁=0，x₂=．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；直角三角形的判定，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)點(diǎn)．