Question

如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高線．
（1）如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，請(qǐng)說明理由；
（2）如果∠A=60°，取BC中點(diǎn)F，連結(jié)點(diǎn)D、E、F得到△DEF，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由；
（3）如果點(diǎn)G是ED的中點(diǎn)，求證：FG⊥DE．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，BD=CE，利用HL可判定Rt△BCD≌Rt△CBE，則可得∠BCD=∠CBE，繼而證得AB=AC；
（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判定EF=DF，又由∠A=60°，可求得∠EFD=60°，即可判定△DEF是等邊三角形；
（3）由等腰三角形的三線合一，可證得FG⊥DE．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，

BD=CE BC=CB

，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：△DEF是等邊三角形．理由如下：
∵在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴EF=DF=BF=CF，
∴∠BEF=∠ABC，∠CDF=∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BFE+∠CFD=360°-2（∠ABC+∠ACB）=120°，
∴∠EFD=60°，
∴△DEF是等邊三角形；

（3）證明：∵EF=DF，點(diǎn)G是ED的中點(diǎn)，
∴FG⊥DE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．