Question

已知正方形ABCD，繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB′C′D′，如圖所示，如果正方形ABCD邊長為1，則四邊形的ABED′周長是

2

2

．

Answer 1

分析：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，則∠D′AH=45°，可判斷△AHD′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AH=D′H=

2

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AD′=

2

2

，∠AD′H=45°，于是可計(jì)算出BH=PE=1-

2

2

，∠ED′P=45°，也得到△PED′為等腰直角三角形，則DE′=

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PE=

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（1-

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2

）=

2

-1，D′P=PE=1-

2

2

，再計(jì)算出BE=PH=D′H-D′P=

2

2

-（1-

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2

）=

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-1，然后利用周長公式計(jì)算四邊形的ABED′周長．

解答：解：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，如圖，
∵正方形ABCD，繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB′C′D′，
∴AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，
∴∠D′AH=45°，
∴△AHD′為等腰直角三角形，
∴AH=D′H=

2

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AD′=

2

2

，∠AD′H=45°，
∴BH=PE=1-

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2

，∠ED′P=45°，
∴△PED′為等腰直角三角形，
∴DE′=

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PE=

2

（1-

2

2

）=

2

-1，D′P=PE=1-

2

2

，
∴BE=PH=D′H-D′P=

2

2

-（1-

2

2

）=

2

-1，
∴四邊形的ABED′周長=AD′+AB+BE+ED′=1+1+

2

-1+

2

-1=2

2

．
故答案為2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．