Question

（2009•上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AB上，且滿足（如圖1所示）．
（1）當(dāng)AD=2，且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖2所示），求線段PC的長(zhǎng)；
（2）在圖1中，連接AP．當(dāng)AD=，且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為x，，其中S_△APQ表示△APQ的面積，S_△PBC表示△PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）當(dāng)AD＜AB，且點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3所示），求∠QPC的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)AD=2時(shí)，AD=AB，此時(shí)△ABD為等腰直角三角形，易證△BPC也是等腰直角三角形，BC長(zhǎng)已知，則PC的長(zhǎng)可求；
（2）易知點(diǎn)P到AB的距離與到BC的距離的比與BA、AD長(zhǎng)度的比相等，即△APQ中AQ邊上的高與△PBC中BC邊上的高的比可求；AQ=2-x，BC=3，則△APQ與△BPC的面積可表示出來，利用其面積比為y，可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知條件可證Rt△PCF∽R(shí)t△PQE，則∠EPQ=∠FPC，利用角的和差關(guān)系可求得∠QPC=90°．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
當(dāng)AD=2時(shí)，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC•sin45°=3×．

（2）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽R(shí)t△BAD．
∴．
設(shè)BE=4k，則PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=2-x．
∴S_△AQP=AQ•PE=（2-x）•3k，S_△BPC=BC•PF=×3×4k=6k．
∵，
∴，
即y=-x+．
過D作BC的垂線DM，在直角△DCM中，DC===．
當(dāng)P在D點(diǎn)時(shí)，x最大，則PC=DC=，而，得PQ=，利用勾股定理得到AQ=，所以此時(shí)BQ=
∴0≤x≤．

（3）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∵∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽R(shí)t△BAD．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴Rt△PCF∽R(shí)t△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．