【題目】如圖,在凸四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC+∠BCD=240°.設(shè)∠ABC=α.

(1)利用尺規(guī),以CD為邊在四邊形內(nèi)部作等邊△CDE.(保留作圖痕跡,不需要寫作法)

(2)連接AE,判斷四邊形ABCE的形狀,并說明理由.

(3)求證:∠ADC=α;

(4)若CD=6,取CD的中點F,連結(jié)AF,當(dāng)∠ABC等于多少度時,AF最大,最大值為多少.(直接寫出答案,不需要說明理由).

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析;(4)見解析.

【解析】

1)①分別以C、D為圓心,以CD從為半徑畫弧,兩弧交于點E,②連接DE、CE,CDE即為所求;

2)由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CDE=CED=DCE=60°,DE=CE=CD,得出AB=CE,∠ABC+BCE=180°,證出ABCE,得出四邊形ABCE是平行四邊形,即可得出結(jié)論;

3)連接AC,由菱形的性質(zhì)得出AE=CE=DE,∠ABC=AEC,得出點EACD的外接圓圓心,由圓周角定理得出∠AEC=2ADC,即可得出結(jié)論;

4)當(dāng)A、EF三點共線時,AF的值最大=AE+EF,由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EF=DF=3,得出AF=AE+EF=6+3,求出∠ADC=75°,由(3)得:∠ABC=2ADC=150°即可.

1)解:如圖1所示:

①分別以C、D為圓心,以CD從為半徑畫弧,兩弧交于點E,

②連接DECE,

CDE即為所求;

2)如圖2所示:

四邊形ABCE是菱形;理由如下:

∵△CDE是等邊三角形,

∴∠CDE=∠CED=∠DCE60°,DECECD

ABBCCD,∠ABC+BCD240°

ABCE,∠ABC+BCE240°60°180°,

ABCE,

∴四邊形ABCE是平行四邊形,

ABBC,

∴四邊形ABCE是菱形;

3)證明:連接AC,如圖3所示:

∵四邊形ABCE是菱形,

AECEDE,∠ABC=∠AEC,

∴點EACD的外接圓圓心,

∴∠AEC2ADC

∴∠ABC2ADC,

∴∠ADCα;

4)如圖4所示:

當(dāng)A、EF三點共線時,AF的值最大=AE+EF,

∵△CDE是等邊三角形,FD的中點,

EFCD,DF3,∠DEFCED30°,

EFDF3

AFAE+EF6+3,

由(2)得:AECECDDE6,

∴∠EAD=∠EDADEF15°,

∴∠ADC15°+60°75°,

由(3)得:∠ABC2ADC150°

∴當(dāng)∠ABC等于150°時,AF最大,最大值為6+3

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②對稱軸是x=3;

③該函數(shù)有最小值是﹣2.

(1)請根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達(dá)式;

(2)將該函數(shù)圖象xx2的部分圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”,平行于x軸的直線與圖象“G”相交于點C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3x4x5),結(jié)合畫出的函數(shù)圖象求x3+x4+x5的取值范圍.

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