【題目】如圖,在中,,以為直徑作圓,分別交于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接交線段于點(diǎn).
(1)求證:是圓的切線;
(2)若為的中點(diǎn),求的值;
(3)若,求圓的半徑.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角證明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,則DH⊥OD,DH是圓O的切線;
(2)如圖2,先證明∠E=∠B=∠C,則H是EC的中點(diǎn),設(shè)AE=x,EC=4x,則AC=3x,由OD是△ABC的中位線,得:,證明△AEF∽△ODF,列比例式可得結(jié)論;
(3)如圖2,設(shè)⊙O的半徑為r,即OD=OB=r,證明DF=OD=r,則DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,證明△BFD∽△EFA,列比例式為:,則,求出r的值即可.
證明:(1)連接 如圖1所示
是等腰三角形
又在中
由①②得:
是圓的切線
(2)如圖2,在圓中,
,
∴由(1)可知:,
是等腰三角形,
, 且點(diǎn)是中點(diǎn),
設(shè),,則,
連接, 則在圓中,, ,
,
是的中點(diǎn),
是的中位線,
,
,
在和中,
,,
,
,
(3)如圖2,設(shè)的半徑為,即,
,
,
,
,
則,
,
,
,
在中,,
,
,是等腰三角形,
,
,
在和中,
,
,
解得: , (舍)
綜上所述, 的半徑為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(x>0)的圖象與直線y=x+1交于點(diǎn)A(2,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知點(diǎn)P(n,0),過(guò)點(diǎn)P作平行于 y 軸的直線,交直線y=x+1于點(diǎn)B,交函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)C.若y=(x>0)的圖象在點(diǎn)A、C之間的部分與線段AB、BC所圍成的區(qū)域內(nèi)(不包括邊界),記作圖形G.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).
①當(dāng)n=4時(shí),直接寫(xiě)出圖形G的整點(diǎn)坐標(biāo);
②若圖形G 恰有2 個(gè)整點(diǎn),直接寫(xiě)出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末,小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速,如圖,觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到縣城城南大道的距離為米的點(diǎn)處.這時(shí),一輛出租車由西向東勻速行駛,測(cè)得此車從處行駛到處所用的時(shí)間為秒,且,.
求、之間的路程;
請(qǐng)判斷此出租車是否超過(guò)了城南大道每小時(shí)千米的限制速度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD⊥AO于E,連接BC,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長(zhǎng)度是( )
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;
(3)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)△ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sin∠ODC的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如右圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓
O,將△DCE沿DE翻折,點(diǎn)C剛好落在半圓O的點(diǎn)F處,則CE的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)D(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B,連接AC
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停動(dòng),過(guò)點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q,連結(jié)MQ
①求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出自變量的取值范圍;當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值,并求出S的最大值;
②是否存在點(diǎn)M,使得△AQM為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)A,沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到Rt△AB1C1,當(dāng)點(diǎn)B1恰好落在斜邊BC的中點(diǎn)時(shí),則∠B1AC=( )
A.25°B.30°C.40°D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(﹣9,10),AC∥x軸,點(diǎn)P時(shí)直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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