Question

（2005•淮安）如圖是不倒翁的正視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA、PB分別相切于點(diǎn)A、B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：連OB，OP，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=25°，∠AOB=180°-2∠BAB=130°；因?yàn)镻A、PB分別相切于點(diǎn)A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，所以∠APB=180°-∠AOB=50°．
解答：解：方法一：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB，
∴OA⊥PA，
∵∠OAB=25°，
∴∠PAB=65，
∴∠APB=180-65°×2=50°；

方法二：連接OB，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°，
∴∠AOB=130°，
∴∠APB=50°；

方法三：連接OP交AB于C，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
OP平分∠APB，
∴∠APC=∠OAB=25°，
∴∠APB=50°．
點(diǎn)評：本題利用了有多種證法，利用了切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．