Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，連接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E，點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以O、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOE相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若將（2）的線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣x；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出當(dāng)OP=OC或OP′=2OC時(shí)，△POC與△AOE相似；

（3）如圖，取Q（，0）．連接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長.

（1）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOH=60°，

∴OH=1，AH=，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），

將兩點(diǎn)代入y=ax2+bx得：

，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2-x；

（2）如圖，

∵C（1，-），

∴tan∠EOC=，

∴∠EOC=30°，

∴∠POC=90°+30°=120°，

∵∠AOE=120°，

∴∠AOE=∠POC=120°，

∵OA=2OE，OC=，

∴當(dāng)OP=OC或OP′=2OC時(shí)，△POC與△AOE相似，

∴OP=，OP′=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）或（0，）．

（3）如圖，取Q（，0）．連接AQ，QE′．

∵

，∠QOE′=∠BOE′，

∴△OE′Q∽△OBE′，

∴，

∴E′Q=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+QE′，

∵AE′+E′Q≥AQ，

∴E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長，最小值為．