Question

如圖，已知⊙O上A、B、C三點，∠BAC=30°，D是OB延長線上的點，∠BDC=30°，⊙O半徑為．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果AC∥BD，證明四邊形ACDB是平行四邊形，并求其周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由于∠A=30°，利用圓周角定理可知∠BOC=60°，而∠BDC=30°，利用三角形內(nèi)角和定理可求∠DCO=90°，從而可證CD是⊙的切線；
（2）由于AC∥BD，那么∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，等量代換可得∠ABO=∠BDC，根據(jù)平行線的判定可知AB∥CD，于是可證四邊形ABDC是平行四邊形，在Rt△OCD中，由于∠BDC=30°，OC=，可知OD=2OC=2，易求BD=，
再利用特殊三角函數(shù)值可求CD=，進(jìn)而可求平行四邊形ABCD的周長．
解答：（1）證明：連接OC，如圖
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°
又∵∠BDC=30°，
∴∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）證明：∵AC∥BD，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
又∵∠BDC=30°，
∴∠ABO=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
在Rt△CDO中，
∵∠BDC=30°，OC=，
∴OD=2OC=，CD=OC=，
∴DB=OD-OB=，
∴平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）=2（+）=+．
點評：本題考查了切線的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)、含有30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先證明CD是⊙的切線，并證明四邊形ABDC是平行四邊形．