Question

（2011•朝陽）如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

2

，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE，連接DE．
（1）線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是

BE=AD

，位置關(guān)系是

BE⊥AD

．
（2）如圖（2），當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α后，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．
（3）繞點(diǎn)C繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)△CDE，當(dāng)90°＜α＜180°時，延長DC交AB于點(diǎn)F，請在圖（3）中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)AF=1+

3

3

時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用線段間的和差關(guān)系求得BE=AD，根據(jù)已知條件∠ACB=90°推知兩線段的位置關(guān)系；
（2）先延長BE交AD于點(diǎn)M在△BCE和△ACD中，根據(jù)BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，得出△BCE≌△ACD，從而證出BE=AD，再根據(jù)∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，即可證出（1）中的結(jié)論仍然成立；
（3）先過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，根據(jù)已知條件得出CN=AN=

1

2

AB=1，∠BCN=45°，得出FN=AF-AN=

3

3

，再在Rt△CNF中，tan∠FCN=

FN

CN

=

3

3

，得出∠BCF的度數(shù)，從而證出∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°，再求出AF的值，從而得出角α的度數(shù)．

解答：解：（1）∵AC=BC=

2

，CD=CE，
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．

（2）仍然成立．
如圖（1），延長BE交AD于點(diǎn)M．
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD=α，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
∴BE=AD．
∵∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，∴∠AMB=∠ACB=90°．
即　BE⊥AD．

（3）如圖（2），過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，
∵AC=BC=

2

，∠ACB=90°，
∴CN=AN=

1

2

AB=1，∠BCN=45°．
∵AF=1+

3

3

，
∴FN=AF-AN=

3

3

．
在Rt△CNF中，tan∠FCN=

FN

CN

=

3

3

，
∴∠FCN=30°．
∴∠BCF=∠BCN-∠FCN=15°．
∵∠FCE=90°，
∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°．
∴當(dāng)AF=1+

3

3

時，旋轉(zhuǎn)角α為105°．

點(diǎn)評：此題考查了解等腰直角三角形；熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值等知識點(diǎn)進(jìn)行解答即可．