Question

如圖，已知拋物線(xiàn)C₁∶y＝a(x＋2)²－5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；

(2)圖(1)，拋物線(xiàn)C₂與拋物線(xiàn)C₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，將拋物線(xiàn)C₂向右平移，平移后的拋物線(xiàn)記為C₃，C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，求C₃的解析式；

(3)圖(2)，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線(xiàn)

C₄．拋物線(xiàn)C₄的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊)，當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由拋物線(xiàn)C1：得 　　頂點(diǎn)P的為(－2，－5)　2分 　　∵點(diǎn)B(1，0)在拋物線(xiàn)C1上 　　∴ 　　解得，a＝　4分 　　(2)連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G 　　∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng) 　　∴PM過(guò)點(diǎn)B，且PB＝MB 　　∴△PBH≌△MBG 　　∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 　　∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，5)　5分 　　拋物線(xiàn)C2由C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到，拋物線(xiàn)C3由C2平移得到 　　∴拋物線(xiàn)C3的表達(dá)式為　6分 　　(3)∵拋物線(xiàn)C4由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到 　　∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng) 　　由(2)得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5 　　設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m，5)　7分 　　作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G 　　作PK⊥NG于K 　　∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上 　　∴EF＝AB＝2BH＝6 　　∴FG＝3，點(diǎn)F坐標(biāo)為(m＋3，0) 　　H坐標(biāo)為(2，0)，K坐標(biāo)為(m，－5)， 　　根據(jù)勾股定理得 　　PN2＝NK2＋PK2＝m2＋4m＋104 　　PF2＝PH2＋HF2＝m2＋10m＋50 　　NF2＝52＋32＝34　8分 　　①當(dāng)∠PNF＝90°時(shí)，PN2＋NF2＝PF2，解得m＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，0) 　�、诋�(dāng)∠PFN＝90°時(shí)，PF2＋NF2＝PN2，解得m＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，0) 　�、邸�PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90° 　　綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)或(，0)時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．9分